今天看了3B1B的Guest Videos的最后一期,有关几何原本。思虑颇多。
不同民族的贡献
想必大家都知道——欧几里得是在北非写的几何原本,而不是在现在的希腊。
说实话,阿拉伯、印度对现在的数学的贡献未必比古希腊小多少。印度某个不知名的先贤发明了如今的阿拉伯数字,阿拉伯在代数和数论上颇有建树。我之前写过一篇博客谈此事。
另外,中国、日本、玛雅的学者,也未必比古希腊、阿拉伯、印度笨多少。
那么,到底是什么导致了在诸多文明中只有古希腊诞生了公理化数学呢?——这个问题的答案我们恐怕永远无法知晓。
**但我们知道的是——几何原本写出来后,很快传到了北非和中东,之后又传到了中亚和印度。**至此,几何原本就不光只是希腊的了,也是中亚和印度的。当它传到中国时,它也属于中国。当它传遍世界,它属于全人类。
所有证明必须不依赖于预先画出的几何图形
欧几里得有可能并不认可这句话。 事实上,他的《几何原本》里每一个命题都配有几何图形。
但是,“证明不应依赖于图形”这个思想,是后代数学家在完善欧几里得体系时提出的一个更高标准。以下是Gemini的回答:
他们在仔细研究《几何原本》时发现,欧几里得在一些证明中,不自觉地、想当然地依赖了图形所给出的直观信息,而这些信息并不能从他给出的公理中严格推导出来。
一些经典的例子:
点的顺序问题:当三个点A, B, C在一条直线上时,我们怎么从逻辑上确定B在A和C的中间?欧几里得没有相关的公理,他在证明中只是“看图说话”,直接默认了这个顺序。
图形的内外问题:一条直线穿过一个三角形的一条边,我们怎么保证它一定会穿过另外两条边中的一条?这在图上看是显而易见的,但欧几里得的公理体系并没有提供逻辑基础来证明这一点。
圆的相交问题:《几何原本》的第一个命题,作等边三角形,需要画两个圆并找到它们的交点。欧几里得理所当然地认为这两个圆一定会相交,但他的公理并不能保证这个交点的存在。他依赖的是“画出来的图”告诉他的事实。
19世纪末,Moritz Pasch和David Hilbert做了很多工作。以下是Gemini的回答:
1. 点的顺序问题 (The Problem of Betweenness)
问题回顾:欧几里得没有定义“点B在点A和点C之间”到底是什么意思,也没有任何公理来约束点的排列顺序。
解决方案:引入**“顺序公理”(Axioms of Order)或“中间公理”(Axioms of Betweenness)**。
希尔伯特在他的公理体系中,将“在……之间”作为一个不加定义的基本关系(就像“点”、“直线”一样),并提出了四条公理来严格规定它的性质。我们不需要看懂公理的原文,只需理解它们的作用:
- 定义“之间”:如果B在A和C之间,那么A、B、C是共线上的三个不同点。
- 对称性:如果B在A和C之间,那么B也在C和A之间。(A-B-C 和 C-B-A 是一回事)。
- 唯一性:对于直线上任意两点A和C,至少存在一点B在A和C之间,也至少存在一点D,使得C在A和D之间。(确保了线的无限延伸和稠密性)。
- 帕施公理 (Pasch’s Axiom):这是最关键的一条,它把“顺序”和“内外”问题联系了起来(下面会详谈)。
通过这套公理,数学家不再需要“看图”来判断点的顺序。一个点是否在另外两点之间,完全由这些公理和逻辑来判定。例如,我们可以根据这些公理证明:对于共线的三个点A, B, C,它们有且只有一种“之间”关系(要么A-B-C,要么B-A-C,要么A-C-B)。
2. 图形的内外问题 (The Inside/Outside Problem)
问题回顾:一条直线进入一个三角形内部,如何从逻辑上保证它一定会从另一条边出去?
解决方案:帕施公理 (Pasch’s Axiom)。
这条公理是解决这个问题的神来之笔,它的内容大致如下:
在一个平面上,如果一条直线不经过三角形的任何一个顶点,但穿过了三角形的一条边,那么它必然会穿过另外两条边中的一条。
这条公理看起来就像是把我们“看图”得到的直观结论直接变成了规则,但这就是公理的作用——将最基本、最不容置疑的直观事实,明确地用语言固定下来,作为逻辑推理的基石。
有了这条公理:
- 它严格定义了“穿越”和“边界”的行为。
- 它让平面被一条直线严格地分成了“两边”(这被称为平面分割公理的基础)。
- 它为之后更复杂的若尔当曲线定理(一条简单闭合曲线将平面分成内外两部分)提供了最简单的基础。
从此,一个图形的“内部”和“外部”不再是模糊的视觉概念,而是可以被逻辑严格处理的数学对象。
3. 圆的相交问题 (The Circle Intersection Problem)
问题回顾:在《几何原本》第一个命题中,以线段AB为半径,分别以A和B为圆心画的两个圆,如何保证它们一定有交点?
解决方案:引入**“连续性公理”(Axioms of Continuity)**。
欧几里得的公理体系中缺少了确保“线是没有间隙的”这一特性。我们的直觉告诉我们线是连续的,但他的公理无法保证这一点。这个问题可以通过多种方式解决,其中最著名的是:
戴德金公理 (Dedekind’s Axiom): 这个公理源于对实数的分析,思想非常深刻。可以这样理解:
如果将一条直线上的所有点分成两个非空的集合(L和R),使得L中的每一个点都在R中每一个点的左边,那么必然存在一个唯一的“分割点”C,它要么是L中最右边的点,要么是R中最左边的点。
这个公理本质上是说:直线上没有“洞”。当你试图在线上切一刀时,总能切到一个确定的点。这个公理保证了线的完备性。有了它,我们就可以证明,一个圆既有“内部”的点(到圆心距离小于半径),也有“外部”的点(到圆心距离大于半径),那么由于线的连续性,这个圆本身(到圆心距离等于半径的点)必然存在。
圆-圆相交原理 (Circle-Circle Intersection Principle): 有些公理体系更直接,直接把这个问题的结论作为一条公理:
如果一个圆的圆心在另一个圆的内部,并且这个圆上至少有一点在另一个圆的外部,那么这两个圆必然相交。
这条公理虽然不如戴德金公理那么基础,但它直接、有效地解决了欧几里得第一个命题中的逻辑漏洞。
第五公设问题 | 范式革命
至少在这个问题上,欧几里得的聪明程度恐怕超过拉格朗日和拉普拉斯。数学有对错。前者洞察到了真相,后者没有。
古希腊的学者的聪慧程度并不输西欧的,那么为什么后者开启了物理学而前者没有呢?哪怕我们不谈工程,只谈科学,从伽利略以来西欧的成就也远超古希腊。
我认为原因在于范式的转变——伽利略等人开创的理论和实验相结合的范式,即取代了十指不沾阳春水的古希腊,也取代了无脑实验的炼丹术士。这是我眼中的第二次科学范式革命。
范式对人的帮助,恐怕远远超出个人的聪慧程度。